Проценты в математике. Задачи на проценты

Вычисление процентов - несложная математическая операция, которая довольно часто встречается в повседневной жизни. Например, нужно посчитать, сколько человек экономит, используя дисконтную карту магазина или покупая товар на распродаже со скидкой, под какой процент берет кредит. Проценты можно посчитать при помощи калькулятора или пропорции, пригодится формула вычисления процентов и знание элементарных известных соотношений.

Что такое процент от числа

Вычисление процентов в школьной программе изучается классе в 5-м, если не раньше. Согласно определению, процент - это одна сотая часть числа. Термин появился в Древнем Риме и буквально переводится как «со ста». Первоначально идея вычислять проценты зародилась еще в Вавилоне. Параллельно в Древней Индии научились считать проценты при помощи пропорции.

Для того чтобы найти процент от числа, необходимо данное число поделить на 100. Очевидно, что 1 % от 100 равняется единице.

Вычисление процентов по формулам

Формула, позволяющая найти процент от числа, элементарна. Необходимо число поделить на 100, после чего умножить на нужный процент.

Если принять за Х исходное число, а за Y - искомый процент, то формула записывается в виде X/100*Y=...

Расчеты при помощи пропорции

Вычисление процентов можно производить, имея понимание метода пропорции. Пусть А - основное число, принятое за 100 %, В - число, соотношение которого с А в процентном соотношении необходимо высчитать, а Х - число искомых процентов. Тогда:

А - 100 %,
В - Х %.

Умножение крест-накрест даст равенство: А*Х=В*100. Следовательно, Х=В*100/А.

Например, необходимо узнать, сколько процентов от 300 составляет число 75. Получается: 75*100/300=25 %.

Альтернативный метод вычислений

Представим один процент не десятичной, а простой дробью - 1/100. Аналогично можно записать любое количество процентов. Так, 10 % - это 0,1 или 1/10, 25 % - 0,25 или 25/100=1/4 и так далее. Следовательно, найти 10 % от числа довольно просто - нужно разделить исходное число на 10. Таким способом удобно вычислять 20, 25 и 50 процентов:

• 20 % - это 1/5, значит, нужно делить на 5 исходное число.
• 25 % - 1/4, нужно делить на 4.
• 50 % - это 1/2, просто делить на два.

Но не всякий процент удобно рассчитать таким методом. К примеру, 33 % - это 33/100, что при записи десятичной дробью дает 0,3333 с бесконечным количеством троек после запятой.

Если возникают сомнения в правильности проводимых расчетов, всегда можно проверить себя на калькуляторе, который сейчас есть в любом мобильном устройстве и на любом компьютере.

Понятие процент встречается в нашей жизни слишком часто, поэтому очень важно знать, как решать задачи на проценты. В принципе, это дело не сложное, главное, понять принцип работы с процентами.

Что такое процент

Мы оперируем с понятием 100 процентов, и соответственно, один процент это сотая доля определенного числа. И все счисления ведутся уже исходя из этого соотношения.

Например, 1% от 50 это 0,5, 15 от 700 это 7.

Как решать

1. Зная, что один процент это одна сотая от представленного числа, можно найти любое количество требуемых процентов. Для того чтобы было нагляднее, попробуем найти 6 процентов от числа 800. Делается это просто.
   • Сначала находим один процент. Для этого 800 делим на 100. Получается 8.
   • Теперь этот самый один процент, то есть 8, умножаем на нужное нам количество процентов, то есть на 6. Получается 48.
   • Закрепим результат повторением.

   15% от 150. Решение: 150/100*15=22.

   28% от 1582. Решение: 1582/100*28=442.

2. Бывают другие задачки, когда вам даются величины, а вам нужно найти проценты. Например, вам известно, что в магазине 5 алых роз из 75 белых, и вам нужно узнать, каков процент алых. Если мы не знаем этот процент, значит, обозначим его как х.

   Для этого есть формула: 75 – 100%

   В этой формуле цифры умножаются крест на крест, то есть х=5*100/75. Получается, что х=6% Значит процент алых роз составляет 6%.

3. Существует еще один тип задач на проценты, когда вам надо найти на сколько процентов одно число больше или меньше другого. Как решать задачи с процентами в этом случае?

   В классе учится 30 человек, из них 16 мальчиков. Вопрос, на сколько процентов мальчиков больше, чем девочек. Для начала необходимо сосчитать, какой процент составляют учащиеся мальчики, затем нужно узнать, сколько процентов девочек. А уж в конце найти разницу.

   Итак, приступим. Составляем пропорцию 30 уч. – 100%

   16 уч. –х %

   Теперь считаем. Х=16*100/30, х=53,4 % от всех учащихся в классе составляют мальчики.

   Теперь найдем процент девочек в этом же классе. 100-53,4=46,6 %

Осталось теперь только найти разницу. 53,4-46,6=6,8% . Ответ: мальчиков больше, чем девочек на 6,8%.

Основные моменты в решении процентов

Итак, чтобы у вас не было проблем с тем, как решать задачи на проценты, запомните несколько основных правил:

1. Чтобы не запутаться в задачках на проценты, всегда будьте бдительны: переходите от конкретных величин к процентам и наоборот, если понадобится. Главное, никогда не путать одно с другим.
2. Будьте внимательны, когда высчитываете проценты. Важно знать, от какой конкретной величину нужно считать. При последовательных изменениях величин процент вычисляется от последнего значения.
3. Прежде, чем записать ответ еще раз прочитайте всю задачу, ведь может быть так, что вы нашли только промежуточный ответ, и вам необходимо выполнить еще одно или пару действий.

Таким образом, решение задач с процентами не такое уж и сложное дело, главное в нем внимательность и аккуратность, как впрочем, и во всей математике. И не забывайте, что для совершенствования любого навыка необходима практика. Так что решайте больше, и все у вас будет хорошо или даже отлично.

Одним из базовых понятий математики является процент. Для того чтобы понять, что такое процент, достаточно разделить заданную целую величину на сто. Одна сотая часть будет одним процентом (обозначается 1%). Как в точных и экономических науках, так и в других сферах жизни проценты используются для обозначения долей по отношению к целому. При этом само целое обозначается как 100%. В некоторых случаях используется при сравнении двух величин: например, иногда стоимость товаров не сравнивается в денежных единицах, а оценивается, на сколько % цена одного товара больше или меньше цены другого. Термин также получил широкое распространение в банковском деле и в большинстве случаев используется в качестве синонима словосочетания «процентная ставка».

Правило нахождения процентов от числа

Вычисление процентных долей от целого – одна из основных математических операций, к тому же часто используемая в повседневной жизни. Правило нахождения процентов от числа гласит о том, что для решения такой задачи его необходимо умножить на указанное в условиях количество %, после чего полученный результат разделить на 100. Также можно разделить число на 100, и полученный результат умножить на заданное количество %. Важно помнить ещё один тезис: если заданный условиями процент превышает 100%, то полученное числовое значение всегда больше исходного (заданного) – и наоборот.

Правило нахождения числа по его проценту

Существует обратное правило нахождения числа по его проценту. Для того чтобы получить результат по такой математической операции (второму из трёх базовых типов задач на процентные вычисления) необходимо указанное в условиях число разделить на заданную процентную величину, после чего полученный результат умножить на 100. При этом первым действием вычисляется количество единиц исходной величины в 1%, а вторым – в целом (то есть в 100%). Если количество % превышает 100, то полученный результат всегда будет меньше числового значения, заданного условиями задачи – и наоборот.

Правило нахождения процентного выражения числа от другого

Третьим базовым типом математических задач на процентные вычисления являются такие задания, в которых необходимо использовать правило нахождения процентного выражения числа от другого (или соотношения двух величин). Оно гласит о том, что для решения необходимо второе число разделить на первое, после чего полученный результат умножить на сто. Подобное соотношение показывает, сколько % одно числовое значение составляет от другого (то есть, фактически речь идёт об отношении между двумя числовыми значениями, выраженном в %).

Процент это один из интересных и часто применяемых на практике инструментов. Проценты частично или полностью применяются в любой науке, на любой работе и даже в повседневном общении. Человек, хорошо разбирающийся в процентах, создаёт впечатление умного и образованного. В данном уроке мы узнаем, что такое процент и какие действия можно с ним выполнять.

Что такое процент?

В повседневной жизни дроби встречаются наиболее часто. Они даже получили свои названия: половина, треть и четверть соответственно.

Но есть ещё одна дробь, которая тоже встречается часто. Это дробь (одна сотая). Данная дробь получила название процент . А что означает дробь одна сотая ? Эта дробь означает, что чего-либо разделено на сто частей и оттуда взята одна часть. Значит процентом является одна сотая часть чего-либо.

Процентом называется одна сотая часть чего-либо

Например, от одного метра составляет 1 см. Один метр разделили на сто частей, и взяли одну часть (вспоминаем, что 1 метр это 100 см). А одна часть из этих ста частей составляет 1 см. Значит один процент от одного метра составляет 1 см.

От одного метра уже составляет 2 сантиметра. В этот раз один метр разделили на сто частей и взяли оттуда не одну, а две части. А две части из ста составляют два сантиметра. Значит два процента от одного метра составляет 2 сантиметра.

Еще пример, от одного рубля составляет одну копейку. Рубль разделили на сто частей, и взяли оттуда одну часть. А одна часть из этих ста частей составляет одну копейку. Значит один процент от одного рубля составляет одну копейку.

Проценты встречались настолько часто, что люди заменили дробь на специальный значок, который выглядит следующим образом:

Эта запись читается как «один процент». Она заменяет собой дробь . Также она заменяет собой десятичную дробь 0,01 потому что если перевести обычную дробь в десятичную дробь, то мы получим 0,01. Стало быть между этими тремя выражениями можно поставить знак равенства:

1% = = 0,01

Два процента в дробном виде будут записаны как , в виде десятичной дроби как 0,02 а с помощью специального значка два процента записывается как 2%.

2% = = 0,02

Как найти процент?

Принцип нахождения процента такой же, как и обычное нахождение дроби от числа. Чтобы найти процент от чего-либо, нужно это чего-либо разделить на 100 частей и полученное число умножить на нужный процент.

Например, найти 2% от 10 см.

Что означает запись 2% ? Запись 2% заменяет собой запись . Если перевести это задание на более понятый язык, то оно будет выглядеть следующим образом:

Найти от 10 см

А как решать подобные задания мы уже знаем. Это обычное нахождение дроби от числа. Чтобы найти дробь от числа, нужно это число разделить на знаменатель дроби, и полученный результат умножить на числитель дроби.

Итак, делим число 10 на знаменатель дроби

Получили 0,1. Теперь 0,1 умножаем на числитель дроби

0,1 × 2 = 0,2

Получили ответ 0,2. Значит 2% от 10 см составляет 0,2 см. А если , то получим 2 миллиметра:

0,2 см = 2 мм

Значит 2% от 10 см составляют 2 мм.

Пример 2. Найти 50% от 300 рублей.

Чтобы найти 50% от 300 рублей, нужно эти 300 рублей разделить на 100, и полученный результат умножить на 50.

Итак, делим 300 рублей на 100

300: 100 = 3

Теперь полученный результат умножаем на 50

3 × 50 = 150 руб.

Значит 50% от 300 рублей составляет 150 рублей.

Если на первых порах сложно привыкнуть к записи со значком %, можно заменять эту запись на обычную дробную запись.

Например, те же 50% можно заменить на запись . Тогда задание будет выглядеть так: Найти от 300 рублей, а решать такие задачи для нас пока проще

300: 100 = 3

3 × 50 = 150

В принципе, ничего сложного здесь нет. Если возникают сложности, советуем остановиться и заново изучить и .

Пример 3. Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 32% составляют костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика?

Здесь нужно найти 32% от 1200. Найденное число будет ответом к задаче. Воспользуемся правилом нахождения процента. Разделим 1200 на 100 и полученный результат умножим на искомый процент, т.е. на 32

1200: 100 = 12

12 × 32 = 384

Ответ: 384 костюмов нового фасона выпустила фабрика.

Второй способ нахождения процента

Второй способ нахождения процента намного проще и удобнее. Он заключается в том, что число от которого ищется процент сразу умножит на нужный процент, выраженный в виде десятичной дроби.

Например, решим предыдущую задачу этим способом. Найти 50% от 300 рублей.

Запись 50% заменяет собой запись , а если перевести эти в десятичную дробь, то мы получим 0,5

Теперь для нахождения 50% от 300, достаточно будет умножить число 300 на десятичную дробь 0,5

300 × 0,5 = 150

Кстати, по этому же принципу работает механизм нахождения процента на калькуляторах. Чтобы найти процент с помощью калькулятора, нужно ввести в калькулятор число от которого ищется процент, затем нажать клавишу умножения и ввести искомый процент. Затем нажать клавишу процента %

Нахождения числа по его проценту

Зная процент от числа, можно узнать всё число. Например, предприятие выплатило нам 60000 рублей за работу, и это составляет 2% от общей прибыли, полученной предприятием. Зная свою долю, и сколько процентов она составляет, мы можем узнать общую прибыль.

Сначала нужно узнать сколько рублей составляет один процент. Как это сделать? Попробуйте догадаться внимательно изучив следующий рисунок:

Если два процента от общей прибыли составляют 60 тысяч рублей, то нетрудно догадаться, что один процент составляет 30 тысяч рублей. А чтобы получить эти 30 тысяч рублей, нужно 60 тысяч разделить на 2

60 000: 2 = 30 000

Мы нашли один процент от общей прибыли, т.е. . Если одна часть это 30 тысяч, то для определения ста частей, нужно 30 тысяч умножить на 100

30 000 × 100 = 3 000 000

Мы нашли общую прибыль. Она составляет три миллиона.

Попробуем сформировать правило нахождения числа по его проценту.

Чтобы найти число по его проценту, нужно известное число разделить на данный процент, и полученный результат умножить на 100.

Пример 2. Число 35 это 7% от какого-то неизвестного числа. Найти это неизвестное число.

Читаем первую часть правила:

Чтобы найти число по его проценту, нужно известное число разделить на данный процент

У нас известное число это 35, а данный процент это 7. Разделим 35 на 7

35: 7 = 5

Читаем вторую часть правила:

и полученный результат умножить на 100

У нас полученный результат это число 5. Умножим 5 на 100

5 × 100 = 500

500 это неизвестное число, которое требовалось найти. Можно сделать проверку. Для этого находим 7% от 500. Если мы всё сделали правильно, то должны получить 35

500: 100 = 5

5 × 7 = 35

Получили 35. Значит задача была решена правильно.

Принцип нахождения числа по его проценту такой же, как и обычное нахождение целого числа по его дроби. Если проценты на первых порах смущают и сбивают с толку, то запись с процентом можно заменять на дробную запись.

Например, предыдущая задача может быть изложена так: число 35 это от какого-то неизвестного числа. Найти это неизвестное число. Как решать такие задачи мы уже знаем. Это нахождение числа по дроби. Для нахождения числа по дроби, мы это число делим на числитель дроби и полученный результат умножаем на знаменатель дроби. В нашем примере число 35 нужно разделить на 7 и полученный результат умножить на 100

35: 7 = 5

5 × 100 = 500

В будущем мы будем решать задачи на проценты, часть из которых будут сложными. Чтобы на первых порах не усложнять обучение, достаточно уметь находить процент от числа, и число по проценту.

Задания для самостоятельного решения

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Класс: 6

Цели урока:

• обобщение и систематизация материала по теме;
• отработка практических умений и навыков решения задач на проценты;
• развивать вычислительные навыки, концентрацию внимания, функции самоконтроля и взаимоконтроля;
• развитие познавательного интереса к математике;
• воспитание здорового образа жизни.

Оборудование : мультимедийный проектор.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Фронтальная «разминка».

Учитель:

Тему урока вы узнаете после небольшой разминки. Прошу вас хором отвечать на вопросы. В случае правильного ответа ставить на листочке заметку, т. е. считать количество правильных ответов.

1. Денежная единица нашей страны…(рубль)
2. Долю 1/2 называют…(половиной)
3. Самая низкая оценка, но её редко ставят …(единица)
4. Любые две точки можно соединить только одним…(отрезком)
5. Главная точка окружности…(центр)
6. 103 (тысяча)
7. Единственная цифра, которая не является натуральным числом…(ноль)

Из первых букв верных ответов получилась такая анаграмма:

Р П Е О Ц Т Н. (буквы - на карточках)

Расшифруйте её, т. е. составьте слово из этих букв. Получилось слово процент. Это и есть тема нашего урока, а точнее - проценты.

В школе учитель за ваши дела
Ставит в журнале оценки.
Сотую долю любого числа
Мы называем…(процентом)

Сегодня на уроке будет работать накопительная система оценок.

За устные и письменные ответы вы будете получать фишки или баллы,

1 фишка – 1 балл. Кто заработает за урок 5 фишек и более, получит «5», 4 фишки – «4» , 3 фишки - «3». Кто ответил верно на все 7 вопросов разминки, уже получает 1 фишку, кто угадал слово – 1 фишку. Всё зависит от вашей активности.

Тематика задач на уроке будет связана с табакокурением. Поэтому сегодняшний урок поможет нам также дать ответ на следующий вопрос: вредно ли курить?

См. приложение (презентация, слайды № _1-6)

Чтобы перейти к решению задач, давайте вспомним некоторые правила и рассмотрим примеры.

1) Выразите проценты обыкновенной дробью: 1%, 7%, 13%, 100%.
Сформулируйте правило, как выразить проценты обыкновенной дробью.

2) Как выразить проценты десятичной дробью?
Приведите примеры.

3) Вспомним правило нахождения процентов от числа.

Пример: найти 32% от числа А

После ответа учащихся на доске прикрепляется табличка:

3. Работа у доски

Задача №1 (1 человек выполняет у доски, остальные – в тетрадях, «цена» задачи- 1 балл)

В нашей школе волонтёрам было проведено и анонимное анкетирование, которое установило,

что 8% шестиклассников пробовали курить. Определите, сколько курильщиков в шестых классах, если всего 75 шестиклассника.

8% от 75 уч.

0,08 * 75= 6 (чел)

Ответ: 6 учащихся

См. Приложение (слайды 7-8)

Учитель : Обратите внимание на диаграмму на слайде. Мы видим, что с возрастом эту вредную привычку приобретают всё больше и больше учащихся. Эти ученики подвержены большему риску заболеваний внутренних органов, у них желтеют зубы, повышается раздражительность, утомляемость.

Задача №2 (все решают самостоятельно, 1 ученик – на обратной стороне доски; учитель напоминает, что можно решить также с помощью пропорции, «цена» задачи- 2-3 балла)

Курящие дети сокращают себе жизнь на 15%. Определите, какова продолжительность жизни курящих людей, если средняя продолжительность жизни в России 56 лет.

Учитель : Кто же подаёт плохой пример детям?

См. Приложение 1 (слайды 9-10)

Дети, рождённые в семьях курильщиков, в 4-5 раз чаще болеют простудными заболеваниями, хроническими воспалениями, также они становятся пассивными курильщиками, если взрослые курят при детях.

Прежде, чем выполнить следующее задание, напомните мне, как узнать, сколько процентов составляет одно число от другого?

После ответа учащихся на доске прикрепляется табличка:

Вопросы (устно):

1) Какую часть составляет 20 от 40?

2) Какую часть составляет 40 от 20?

3) Выразите десятичную дробь в процентах. Правило. Примеры.

После ответа учащихся на доске прикрепляется табличка:

Задача №3

Средний вес новорождённого ребёнка 3 кг 300г. Если у ребёнка был курящий отец, то его вес будет меньше среднего на 125 г.; если курящая мать – меньше на 300г.

Определите, сколько процентов в весе теряет новорождённый, если:

а) курит мама, б) курит папа. Ответ округлить до единиц.

/мальчики выполняют задание 3а), девочки - 3б); у доски - мальчик и девочка выполняют самостоятельно, «цена» задачи- 3 балла/

Ответ: а) б) 9%.

Учитель: Вес для новорожденного – самый важный критерий развития. Согласитесь, что полностью здоровым этот ребёнок быть не может, всю жизнь он будет расплачиваться своим здоровьем за легкомыслие своих родителей.

А теперь давайте вспомним правило нахождения числа по его процентам.

После ответа учащихся на доске прикрепляется табличка:

• Вспомним, как производится деление числа на десятичную дробь.

25:0,5=? 16:0,02=?

Задача №4. («цена» задачи- 2-3 балла)

В одной школе при проведении медосмотра весной прошлого года врачи выделили группу учащихся со стажем курения около 3 лет. При проверке их состояния здоровья у 14 человек было обнаружено по 2 заболевания (органов пищеварении дыхания), что составило 70% этой группе учащихся, у остальных отмечено по одному заболеванию. Сколько человек относится к данной группе?

Учитель :

Вы, ребята, все устали,
Много думали, решали.
Отдохнуть уже пора!
Предлагается игра!

Прошу всех встать. Сейчас я вам буду показывать карточки. Если вы считаете, что записанное верно, то должны похлопать в ладоши, если неверно, то поднять руки вверх.

Приготовились.

1. 1% - это 0,1?
2. 5²=25?
3. 50% - это1/2?
4. 0,12 - это12%?
5. 16:0,2=0,8?
6. 0,4 – это 4%?
7. курение опасно для вашего здоровья?

К доске приглашаются два лучших математика (представители от мальчиков и девочек). «Цена» задания – 4 балла.

Для них индивидуальные задания - заполнить таблицу, приготовленную на боковой доске. Остальные приступают к самостоятельной работе.

Индивидуальное задание №1

Индивидуальное задание №2

Индивидуальное задание №1

Индивидуальное задание №2

4. Самостоятельная работа.

Перед вами лист с самостоятельной работой. Для каждого из двух вариантов –

2 задания различной сложности, выбираете любое задание, кто- то может успеть выполнить 2 задания.

1) 1 задание - тест с 3 вариантами ответов, нужно выбрать правильный ответ и обвести его в кружок. («Цена» задания- 2балла)

2) Задача на проценты.

(«Цена» задания- 3 балла)

Время для выполнения работы- 7мин.

Вариант 1

1) Выразите проценты в виде десятичной дроби:

2) Задача.

Если секретарь курит, то допускает 4% ошибок на странице печатного текста.

Сколько всего печатных знаков в тексте, если допущено 32 ошибки.

32:0,04=3200:4=800 (знаков)

Ответ: 800 знаков в тексте.

Вариант 2.

1) Выразите десятичную дробь в виде процентов:

2) Задача.

Определите, сколько процентов своего дохода тратит на сигареты человек, выкуривающий одну пачку в сутки, если одна пачка сигарет стоит 20 руб., ежемесячная зарплата 6000 руб. (в месяце считать 30 дней).

1) 20 * 30=600 (руб) – на сигареты в месяц

2)

Взаимопроверка. (Презентация. Слайды № 11-12)

5. Подведение итогов.

Учитель:

Подведём теперь итог:
Мы успели точно в срок.
Кто же лучше всех трудился
И сегодня отличился?

Поднимите руки, кто набрал 5 баллов и больше? Эти ребята получают в журнал «5». У кого 4 балла? У кого 3 балла? Оценка «3» ставится сегодня по вашему желанию.

Ещё раз вспомним, задачи каких типов мы решали на уроке.

(задачи на нахождение процентов от числа, нахождение числа по его процентам; сколько процентов составляет одно число от другого)

Домашнее задание : составьте задачи на тему «Курение и проценты».

На какой вопрос ещё мы должны были ответить в конце урока?

См. Приложение 1 (слайды № 13-14)

Вредно ли курить?

Так какой же ваш ответ?

Литература:

1. Математика./Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября». /№26. 2000г.
2. Все цвета, кроме чёрного: находим ответы на трудные вопросы/А.Г. Макеева; под ред. М.М. Безруких – М.- Просвещение, 2005.-96 с.
3. Мой выбор: учебно-метод. пособие для учителей ср. школы/ Ахметова И.Ф. и др., М. -2003.